Функция Uarctg(39−6×2 y2−4z2) задана в виде арктангенса суммы выражений 39−6×2 y2−4z2. Для того чтобы рассчитать градиент функции, нужно найти частные производные по каждой переменной (x, y и z).Пусть grad U(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z) – вектор градиента функции U.Найдем частную производную ∂U/∂x:
∂U/∂x ∂(arctg(39−6×2 y2−4z2))/∂x
Так как в данном случае функция U не зависит явно от переменной x, то частная производная будет равна нулю⁚
∂U/∂x 0
Аналогично вычислим частные производные по y и z⁚
∂U/∂y ∂(arctg(39−6×2 y2−4z2))/∂y
∂U/∂y 2y/(1 (39−6×2 y2−4z2)2)
∂U/∂z ∂(arctg(39−6×2 y2−4z2))/∂z
∂U/∂z -8z/(1 (39−6×2 y2−4z2)2)
Теперь мы можем вычислить координаты вектора grad U в точке M(1;2;3)⁚
grad U(M) (∂U/∂x(M), ∂U/∂y(M), ∂U/∂z(M))
grad U(1;2;3) (0٫ 2(2)/(1 (39−6×2 2^2−4×3^2)2)٫ -8(3)/(1 (39−6×2 2^2−4×3^2)2))
grad U(1;2;3) (0, 4/(1 (39−12 4−36)2), -24/(1 (39−12 4−36)2))
grad U(1;2;3) (0, 4/7, -24/7)
Итак, координаты вектора grad U в точке M(1;2;3) равны 0, 4/7 и -24/7.